확률적으로 문제를 파악하기!! - 정리하는 뇌

 

 우리들은 대부분의 문제에 대해 직관이나 예감에 따라 판단 내리는 경우가 많습니다.

대부분의 사람들은 확률을 계산할 준비가 안 된 것뿐만 아니라, 합리적으로 평가할 훈련 자체가 되어 있지 않습니다.

 

예를 들어

 

 동전 던지기의 무작위 순서를 만들어 보라고 하면 우리는 보통 실제 무작위 순서에서 나타나는 것보다 교대되는 순서(앞면-뒷면-앞면)을 훨씬 많이 적고, 연속으로 이어지는 순서는 훨씬 적게 적는다(앞면-앞면-앞면). 한 실험에서는 참가자들에게 100번 동전 던지기를 해서 무작위 순서가 어떻게 나올지 생각해보라고 했다. 그랬을 때 연속으로 앞면이나 뒷면이 각각 일곱 번 이어지도록 적은 사람은 거의 없었다. 사실 100번 동전 던지기를 했을 때 이런 경우가 생길 확률은 50%가 넘는데도 말이다. 우리는 직관의 압박 때문에 짧은 순서 안에서도 앞면 뒷면 비율을 더 균일하게 분포시키려고 든다. 사실 50대 50의 비율이 안정적으로 나타나기 위해서는 수백만 번 정도의 아주 기나긴 순서가 필요한데도 말이다.

 세 번 동전을 던진다면 연속으로 세 번 다 앞면이 나올 확률은 겨우 8분의 1이 맞다. 하지만 이것은 짧은 순서만을 보고 있기 때문에 생기는 혼동이다.세 번 연속 앞면이 나오게 하는 데 드는 동전 던지기 횟수는 평균 14회다. 그리고 100번 던졌을 경우에는 세 번 연속 앞면이 나오는 경우가 적어도 한 번 생길 확률이 99.9%가 넘는다.

 

 또 다른 예시로는

 

과학 문헌에 나오는 한 전형적인 실험에서 참가자에게 시나리오를 하나 주고 읽게 했다. 이 시나리오에서는 한 특정 대학의 학생 중 10%가 공학도고 나머지 90%는 아니라고 설명한다. 이제 실험 참가자가 그 대학의 한 파티에 갔는데, 누군가가 플라스틱 주머니 보호대를 셔츠 주머니에 넣어둔 것이 보인다. (이 묘사에서는 많은 사람이 이것을 전형적인 공학도의 모습이라 생각한다는 사실이 설명되지 않았다) 이 상황에서 참가자에게 그가 공학도일 확률이 얼마나 된다고 생각하는지 물어보았다. 많은 사람이 확실히 공학도일 거라고 생각했다. 주머니보호대가 결정적인 증거로 보였기 때문에 그 사람이 공학도가 아닐 가능성은 상상하기 어려웠다. 하지만 이 대학교에는 공학도가 드물다는 사실을 고려해야 한다. 이 사람이 공학도일 확률은 기저율(그 일이 발생하는 배경비율)인 10%보다는 높겠지만, 그렇다고 100%정도로 높은 것도 아니다. 다른 사람들도 주머니 보호대를 하는 경우가 있다. 

 여기서 흥미로운 일이 일어난다. 연구자들은 똑같은 시나리오를 설정해보았다. 10%의 학생이 공학도고 90%는 아닌 대학교의 한 파티였다. 그리고 이렇게 설명했다. “당신은 플라스틱 주머니보호대를 차고 있거나 그렇지 않은 사람을 만나게 되지만, 점퍼를 입고 있기 때문에 착용 여부를 알 수는 없습니다.” 그런 다음 그 사람이 공학도일 확률을 얘기해보라고 했더니 보통 ‘50 대 50’이라고 얘기했다. 그 이유를 설명하라고 했더니 이렇게 말했다. “그 사람이 주머니보호대를 착용할 수도, 안 할 수도 있는데 우리는 그걸 모르잖아요.” 여기서도 역시나 참가자들은 기저율을 고려하지 않았다. 그 사람에 대해 아는 것이 전혀 없을 경우, 그 사람이 공학도일 가능성은 50%가 아니라 10%다. 선택이 두 가지밖에 없다고 해서 그 두 선택의 확률이 같다는 의미는 아니다. 

 

 이렇게 우리 뇌가 제대로 작동하지 못하는 경우를 해결하기 위해 책에서는 사분표를 그려봄으로써 해결할 수 있다고 한다.

 

그렇다면 사분표는 어떻게 그리는가?

예시)

• 혈액 검사를 받았는데 눈 침침병에 대해 양성반응이 나왔다.
• 눈 침침병의 기저율은 1만 명당 한명, 즉 0.0001이다.
• 가상의 약물 클로로하이드록실렌을 사용하면, 원치 않는 부작용을 경험할 확률이 5%, 즉 0.05다.
• 눈 침침병의 혈액검사가 잘못 나올 확률은 2%, 즉 0.02%다.

이러한 상황이라고 가정할 때. 아래와 같이 표를 작성한다.

※ 2번째 가정 : 눈 침침병의 기저율은 1만 명당 한명   이라는 가정을 통해 위의 표를 채울 수 있다.

1.  침침병의 기저율이 1만명당 1명이니깐.  총계는 10,000

2. 질병 여부 : 그렇다 부분은 침침병의 기저율이 1만명당 1명이니깐.   질병 여부 : 그렇다의 합은 1

3. 질병 여부 : 아니다는 총계 10,000 - 1 = 9,999 이라는 것을 알 수 있다.

 

그러면 아래와 같이 작성되 있을 것이다.

 

※ 4번째 가정 : 혈액검사가 잘못 나올 확률 2%

혈액검사가 잘못 나오는 경우는 위의 노란색 칸에 해당된다.

* 양성이면서 질병여부 : 아니다에 해당되는 부분 : 9,999 곱하기 2% = 199,98 이므로 200으로 반올림한다.

* 그러면 자연스럽게 음성이면서 질병여부 : 아니다 부분은 9,999 - 200 = 9,799가 된다.

* 또 다른 노란색 칸인 음성이면서 질병여부 : 그렇다 = 2% 곱하기 1 = 0.02 반올림 해서 0

* 그러면 양성이면서 질병여부 그렇다 = 1이 된다.

 

 

위의 내용을 종합해서 표를 채우면 위와 같이 작성하게 된다.

 

위와 같이 표를 그려보았을 경우 아래와 같은 질문에 답을 하기 편해진다.

 

1. 검사 결과가 양성으로 나왔을 때 당신이 병에 걸렸을 확률은 얼마나 되는가

2. 당신이 병에 걸렷을 경우, 양성 반응이 나올 확률은 얼마나 되는가

 

1번의 답은 201명 중 1명 이므로 201분의 1. 0.49%이다.

2번의 경우는 1분의 1이므로 확률은 100%다.

 

 

출처 : 정리하는 뇌